（1）依题意：f（x）=lnx+x²-bx

∵f（x）在（0，+∞）递增

∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立

∴b≤

1

x

+2x

∵x＞0

∴

1

x

+2x≥2

2

当且仅当x=

2

2

时取“=”，

∴b≤2

2

，

且当b=2

2

时，x∈(0，

2

2

)，f′(x)＞0，f′(

2

2

)=0，x∈(

2

2

，+∞)，f′(x)＞0

∴符合f（x）在（0，+∞）是增函数∴b∈(-∞，2

2

]

（2）设t=e^x，

∵x∈[0，ln2]

∴1≤t≤2，

则函数g（x）化为：y=t2+bt=(t+

b

2

)2-

b2

2

，t∈[1，2]

①当-

b

2

≤1时，即-2≤b≤2

2

时．y在[1，2]递增∴当t=1时，y_min=b+1

②当1＜-

b

2

＜2时，即-4＜b＜-2，当t=-

b

2

，ymin=-

b2

4

③当-

b

2

≥2，即b≤-4时，y在[1，2]递减，当t=2时，y_min=4+2b

综上：g(x)min=

4+2b  &b≤-4 - b2 4  &-4＜b＜-2 1+b  &-2≤b≤2 2

（3）∵a₁=1，a₂=ln1+1+2=3＞1，a₃=ln3+3+2＞1

假设a_k≥1（n≥1），则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，∴a_n≥1成立

设F（x）=lnx-x+1，（x≥1），则F′(x)=

1

x

-1＜0

∴F（x）在[1，+∞]单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴lnx≤x-1

∴lna_n≤a_n-1，故a_n+1≤2a_n+1，∴a_n+1+1≤2（a_n+1）a_n+1+1≤2（a_n+1）≤2²（a_n-1+1）≤≤2ⁿ（a₁+1）=2ⁿ⁺¹，

∴a_n+1≤2ⁿ⇒a_n≤2ⁿ-1