（I）证明：f′（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂ 是方程f′（x）=0的两个根，

f（x）在（x₂，+∞）上单调增，其导函数大于0，f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，其导函数小于0，

由x₁＜2＜x₂＜4且a＞0

得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

可得

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0②

        （2分）

①×（-3）+②得4a-2b＞0，

∴f′（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3＞3；

（Ⅱ）由第（1）问知

x1+x2=- b-1 a x1x2= 1 a

由x₁x₂≠0，两式相除得

-（b-1）=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

 即b=-

1

x1

-

1

x2

+1     （4分）

①当0＜x₁＜2时，由x₁x₂=

1

a

＞0，

∴x₂-x₁=2 即x₂=x₁+2

∴b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，x₁∈（0，2）（5分）

令函数φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1（x＞0），则φ′（x）=

1

x2

+

1

(x+2)2

，

∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数；

∴当x₁∈（0，2）时，b=φ（x₁）＜φ（2）=-

1

2

-

1

4

+1=

1

4

，即b＜

1

4

  （7分）

②当-2＜x₁＜0时，x₂＜0，∴x₁-x₂=2 即x₂=x₁-2

∴b=-

1

x1

-

1

x1-2

+1，x₁∈（-2，0）

令函数ω（x）=-

1

x

-

1

(x-2)2

+1（x＜0）则同理可证ω（x）在（-∞，0）上是增函数

∴当x₁∈（-2，0）时，b=ω（x₁）＞ω（-2）=

7

4

，

综①②所述，b的取值范围是（-∞，

1

4

）∪（

7

4

，+∞）；

（Ⅲ）f′（x）=0的两个根是x₁，x₂，

∴可设f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）

∴g（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+2（x-x₂）=a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

） （10分）

又x∈（x₁，x₂） 又a≥2，

∴x-x₁+

2

a

＞0

∴|g（x）|=|a（x-x₂）（x-x₁+

2

a

）|=a（x₂-x）（x-x₁+

2

a

）

≤a(

x2-x1+ 2 a

2

)2=a（1+

1

a

）²=a（1+

1

a

）²=a+

1

a

+2，g（x）≥-（a+

1

a

+2）

当且仅当x₂-x₁=x-x₁+

2

a

即x=即x=

x1+x2

2

-

1

a

时取等号

∴h（a）=-（a+

1

a

+2），（a≥2）

当a≥2时，h′（a）=-（1-

1

a2

）＜0

∴h（a）在（2，+∞）上是减函数． 

∴h（a）=h（2）=-

9

2

；