问题 解答题
已知函数 f(x)=x2+2lnx+aln(1+x2).
(I)若a=-
9
2
求f(x)的极值;
(II)已知f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2
(i) 求a的取值范围
(ii)求证:f(x1)<1-4ln2
(III) a=0时,求证[f'(x)]n-2n-1f'(xn)≥2n(2n-2)
答案

(I)a=-

9
2
时,f(x)=x2+2lnx-
9
2
ln(1+x2)(x>0),f′(x)=2x+
2
x
-
9x
1+x2
=
(2x2-1)(x2-2)
x(x2+1)

当0<x<

2
2
时,f′(x)>0,当
2
2
<x<
2
时,f′(x)<0,当x>
2
时,f′(x)>0,

故f(x)极小=f(

2
)=2+ln2-
9
2
ln3
,f(x)极大=f(
2
2
)=
1
2
+
7
2ln2
-
9
2
ln3

(II)由(I)计算过程不难计算出f′(x)=

2[x4+(a+2)x2+1]
x(x2+1)

令t=x2,故只需t2+(a+2)t+1=0有两个不同正根,即

△=(a+2)2-4>0
-
a+2
2
>0
解得a<-4,

所以a的范围为a<-4.

因此x1,x2为方程x4+(a+2)x2+1=0的两根,且结合韦达定理可知,

0<x1<1,再由a<-4,

所以f(x1)=

x21
+2lnx1+aln(1+
x21
)<
x21
+2lnx1-4ln(1+
x21
),

令g(x1)=

x21
+2lnx1-4ln(1+
x21
),易知g′(x1)≥0,即g′(x1)单调递增,

所以g(x1)<g(1)=1-4ln2,从而命题得证.

(III)a=0时,f(x)=x2+ln2x,所以f(x)=2x+

2
x
f(xn)=2xn+
2
xn

故左边[f'(x)]n-2n-1f'(xn)=2n (

C1n
xn-2+
C2n
xn-4
++…
+Cn-2n
1
xn-4
+Cn-1n
1
xn-2
),

令Sn=

C1n
xn-2+
C2n
xn-4
++…
+Cn-2n
1
xn-4
+Cn-1n
1
xn-2

利用倒序相加法可得,2Sn=

C1n
(xn-2+
1
xn-2
)+
C2n
(xn-4+
1
xn-4
)+…+
Cn-2n
(xn-4+
1
xn-4
)+
Cn-1n
1
xn-2
+xn-2

≥2(

C1n
+
C2n
+…+
Cn-2n
+
Cn-1n
)=2(2n-2),

从而命题得证.

多项选择题
单项选择题 A1/A2型题