(I)a=-时,f(x)=x2+2lnx-ln(1+x2)(x>0),f′(x)=2x+-=,
当0<x<时,f′(x)>0,当<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0,
故f(x)极小=f()=2+ln2-ln3,f(x)极大=f()=+-ln3.
(II)由(I)计算过程不难计算出f′(x)=,
令t=x2,故只需t2+(a+2)t+1=0有两个不同正根,即解得a<-4,
所以a的范围为a<-4.
因此x1,x2为方程x4+(a+2)x2+1=0的两根,且结合韦达定理可知,
0<x1<1,再由a<-4,
所以f(x1)=+2lnx1+aln(1+)<+2lnx1-4ln(1+),
令g(x1)=+2lnx1-4ln(1+),易知g′(x1)≥0,即g′(x1)单调递增,
所以g(x1)<g(1)=1-4ln2,从而命题得证.
(III)a=0时,f(x)=x2+ln2x,所以f′(x)=2x+,f′(xn)=2xn+,
故左边[f'(x)]n-2n-1f'(xn)=2n (xn-2+xn-4++…),
令Sn=xn-2+xn-4++…,
利用倒序相加法可得,2Sn=(xn-2+)+(xn-4+)+…+(xn-4+)+(+xn-2)
≥2(++…++)=2(2n-2),
从而命题得证.