（1）由题意得函数的定义域为（0，+∞），

且f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=

1

e

．

∵当x∈（0，

1

e

）时，f'（x）＜0；当x∈（

1

e

，+∞）时，f'（x）＞0，

∴函数在（0，

1

e

）上递减，在和（

1

e

，+∞）上递增，

∴当x=

1

e

时，函数取极小值，也最小值为f（x）_min=

1

e

ln

1

e

，

（2）由题意得F（x）=ax²+lnx+1，且定义域为（0，+∞），

F′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，

①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当a＜0时，

令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；

令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．

综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当a＜0时，F（x）在（0，

- 1 2a

）上单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）上单调递减．

（3）设切点T（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，

又k_AT=f′（x₀），把A（-e^-2，0）代入得，

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，即e²x₀+lnx₀+1=0，

设h（x）=e²x+lnx+1，且定义域为（0，+∞），h′（x）=e²+

1

x

，

∴x＞0时，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数h（x）最多只有一个零点，

即e²x₀+lnx₀+1=0最多只有一个根，

根据h（x）=e²x+lnx+1特点：①“使e²x为整数”，②“使lnx为整数”，

需要给x特殊值（取1或对数底数的幂的形式）使h（x）=0，

易得h（

1

e2

）=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，

∴即为函数h（x）唯一的零点x0=

1

e2

，也是对应方程e²x₀+lnx₀+1=0唯一的实根，

由f'（x₀）=ln

1

e2

+1=-1得，k_AT=-1，

则所求的切线方程是y-0=-（x+e^-2），即x+y+

1

e2

=0．