问题
解答题
已知函数f(x)=xlnx. (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>
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答案
(1)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得f'(x)=lnx+1,…(1分)
当x∈(0,
),f′(x)<0,f(x)单调递减,1 e
当x∈(
,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增 …(2分)1 e
①0<t<
<t+2,即0<t<1 e
时,f(x)min=f(1 e
)=-1 e
; …(4分)1 e
②
≤t<t+2,即t≥1 e
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt; …(5分)1 e
所以f(x)min=
…(6分)-
,0<t<1 e
.1 e tlnt,t≥ 1 e
(2)证明:由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-
,当且仅当x=1 e
时取到.1 e
设m(x)=
-x ex
(x∈(0,+∞)),则m′(x)=2 e
,1-x ex
∵x∈(0,1)时,m′(x)>0,x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,
∴m(x)max=m(1)=-
,当且仅当x=1时取到…(10分)1 e
从而对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>
-x ex
成立. …(12分)2 e