问题 解答题
已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>
x
ex
-
2
e
成立.
答案

(1)函数的定义域为(0,+∞)

求导函数,可得f'(x)=lnx+1,…(1分)

x∈(0,

1
e
),f′(x)<0,f(x)单调递减,

x∈(

1
e
,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增 …(2分)

0<t<

1
e
<t+2,即0<t<
1
e
时,f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
;       …(4分)

1
e
≤t<t+2,即t≥
1
e
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;                …(5分)

所以f(x)min=

-
1
e
,0<t<
1
e
.
tlnt,t≥
1
e
…(6分)

(2)证明:由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-

1
e
,当且仅当x=
1
e
时取到.

m(x)=

x
ex
-
2
e
(x∈(0,+∞)),则m′(x)=
1-x
ex

∵x∈(0,1)时,m′(x)>0,x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,

m(x)max=m(1)=-

1
e
,当且仅当x=1时取到…(10分)

从而对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>

x
ex
-
2
e
成立.  …(12分)

单项选择题
单项选择题