已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是

问题解答题

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．

（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

答案

（1）∵f(x)=

(ax-3)=ax³-3x²，∴f′（x）=3ax²-6x，

∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，

解得，a=2，此时f′（x）=6（x²-x）=6x（x-1），

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，

∴a=2．

（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，a＞0且x∈[0，2]，

∴g′（x）=3ax²+6（a-1）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，

令g′（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0，

且△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0，

∴方程ax²+2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x₁，x₂，则

x₁x₂=-

＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，

当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；

当x₂≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数，

∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），

综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；

∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），

即0≥20a-24，得a≤

，

∵a＞0，∴a∈（0，

]．