（I）f(x)=ln

1+2x

+mx=

1

2

ln(1+2x)+mx(x＞-

1

2

)，

∴f′(x)=

1

1+2x

+m．

对x＞-

1

2

，

1

1+2x

＞0，故不存在实数m，

使f′(x)=

1

1+2x

+m＜0对x＞-

1

2

恒成立，

由f′(x)=

1

1+2x

+m≥0对x＞-

1

2

恒成立得，

m≥-

1

1+2x

对x＞-

1

2

恒成立

而-

1

1+2x

＜0，故m≥0

经检验，当m≥0时，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0对x＞-

1

2

恒成立

∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．

（II）证明：当m=1时，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x

g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

，

在[0，1]上总有g′（x）≥0，

即g（x）在[0，1]上递增

∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），

即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．

令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，

由（2）知它在[0，1]上递减，

∴h（a）＜h（b）

即f(a)-2a＜f(b)-2b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＜2

综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．