问题
解答题
已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x0，f（x0））在函数f（x）的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx2-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由
答案
（Ⅰ）f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]单调递增，
在区间[1，2）单调递减，所以x=1时，取得极大值．
所以f'（1）=0．（2分）
因为f'（x）=4x3-12x2+2ax，
所以4-12+2a=0．解得a=4．（4分）
（Ⅱ）因为点A（x0，f（x0））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2-x0，f（x0）），
且f（2-x0）=（2-x0）4-4（2-x0）3+4（2-x0）2-1x04-4x03+4x02-1=f（x0）．（8分）
所以点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上．
（Ⅲ）因为函数g（x）=bx2=bx2-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
等价于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1恰有3个不等实根．
由x4-4x3+4x2-1=bx2-1得x4-4x3+（4-b）x2=0．
因为x=0是其中一个根，
所以方程x4-4x3+（4-b）x2=0有2个非零且不等的实数根．（12分）
故由
得b＞0且b≠4.（14分）△=16-4(4-b)＞0 4-b≠0