（Ⅰ）f′(x)=

2x

1+x2

+a，因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分

（Ⅱ）因为f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；

2）若

a＜0 △≤0

得，当a≤-1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；

3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，

在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；

综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，

若-1＜a＜0时，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减

若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减

当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x²）＜x

∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1

∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)…(1+

1

22n

)＜e---------------------13分