（I）∵定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2^R（-x）-2^R（x）=0，

∴2^R（-x）-2^R（x）=0，

∴2^R（-x）=2^R（x），即R（-x）=R（x），

∵R（x）=ax²+bx+c，∴b=0，∴R（x）=ax²+c．

∵R（x）=ax²+c的最小值为0，∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，

∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）-R（x），

∴f（x）=lnx-ax²，f′(x)=

1

x

-2ax，

令f′（x）=0，解得x=

2a

2a

．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0， 2a 2a ）	2a 2a	（ 2a 2a ，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

所以，f（x）的单调递增区间是（0，

2a

2a

），

f（x）的单调递减区间是（

2a

2a

，+∞）．

（II）∵当0＜a≤

1

2

时，

2a

2a

≥1，

∴x₀∈[1，3]时，f（x₀）的最小值为f（1）与f（3）中的较小者．

又f（1）=-a，f（3）=1n3-9a，

f（1）-f（3）=-a-（ln3-9a）=8a-1n3．

∴当0＜a≤

ln3

8

时，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值-a；

当

ln3

8

＜a≤ 

1

2

时，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3-9a．

（III）证明：若二次函数R（x）=ax²图象过（4，2）点，则a=

1

8

，

所以f(x)=lnx-

1

8

x2．

令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．

由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，

故f(2)＞f(

3

2

)，即g（2）＞0．

取x′=

3

2

e＞2，则g(x′)=

41-9e2

32

＜0．

所以存在x2∈(2，x′)，使g（x₂）=0，

故存在x₂∈（2，+∞），使f(x2)=f(

3

2

)．

所以函数f（x）图象上存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴．