（1）当b=1时，函数f（x）=x²-ax+bln（x+1），

其定义域为（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．

∵函数f（x）是增函数，∴当x＞-1时，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．

即当x＞-1时，a≤2x+

1

x+1

恒成立．

∵当x＞-1时，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，

且当x=

2

2

-1时取等号．∴a的取值范围为(-∞，2

2

-2]．

（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函数f（x）在x=1处取得极值，

∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此时f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

．

当

a-4

2

=1，即a=6时，f'（x）≥0恒成立，

此时x=1不是极值点．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）

（3）由f′(x)=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

得

①当a＜2时，

a-4

2

≤-1．∴当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；

当x＞1时，f′（x）＞0．∴当a＜2时，

f（x）的单调递减区间为（-1，1），单调递增区间为（1，+∞）．

②当2＜a＜6时，-1＜

a-4

2

＜1．

∴当-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1时，f'（x）＞0；

当

a-4

2

＜x＜1时，f'（x）＜0；

∴当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，

单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．

③当a＞6时，

a-4

2

＞1．∴当-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

时，f'（x）＞0；

当1＜x＜

a-4

2

时，f'（x）＜0；

∴当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，

单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．

综上所述：∴当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（-1，1），

单调递增区间为（1，+∞）；

当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，

单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；

当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，

单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．