问题
解答题
已知f（x）=lnx+x2-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x2，求证函数g（x）只有一个零点．
答案
（1）∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=
+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤1 x
+2x对x∈（0，+∞）恒成立，1 x
∴只需b≤（
+2x）min （x＞0），1 x
∵x＞0，
∴
+2x≥21 x
，当且仅当x=2
时取“=”，∴b≤22 2
，2
∴b的取值范围为（-∞，2
]．2
（2）证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x2=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=
-2x+1=-1 x
，2x2-x-1 x
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．
CH3OH（g）达到化学平衡状态。