问题
解答题
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
)(x+a)，又a＞0，a 3
∴当x＜-a或x＞
时，f'（x）＞0；a 3
当-a＜x＜
时，f'（x）＜0，a 3
∴f（x）在（-∞，-a）和(
，+∞)内是增函数，在(-a，a 3
)内是减函数．a 3
（Ⅱ）由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1，
即x[x2-（a2-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2-2≤0，即-
≤a≤2
，2
又a≠0，∴a∈[-
，0)∪(0，2
]．2
当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，
]．2
g（x）=a（x-
）2+1-1 a
，1 a
∴h(a)=1-
，a∈(0，1 a
]．2
h（a）≤1-
；2 2
∴h（a）的值域为(-∞，1-
]．2 2
（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(
，+∞)内是增函数，g（x）在(a 3
，+∞)内是增函数．1 a
由题意得
，解得a≥1；a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a
当a＜0时，f（x）在(-∞，
)和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在(-∞，a 3
)内是增函数．1 a
由题意得
，解得a≤-3；a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．