（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，又a＞0，

∴当x＜-a或x＞

a

3

时，f'（x）＞0；

当-a＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，在(-a，

a

3

)内是减函数．

（Ⅱ）由题意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，

即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即-

2

≤a≤

2

，

又a≠0，∴a∈[-

2

，0)∪(0，

2

]．

当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，

2

]．

g（x）=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，

∴h(a)=1-

1

a

，a∈(0，

2

]．

h（a）≤1-

2

2

；

∴h（a）的值域为(-∞，1-

2

2

]．

（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)内是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)内是增函数．

由题意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

，解得a≥1；

当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)内是增函数．

由题意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

，解得a≤-3；

综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．