问题
解答题
已知函数f(x)=4x+ax2-
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A； （3）设关于x的方程f(x)=2x+
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答案
（1）f(x)=4x+x2-
x3，2 3
f'（x）=4+2x-2x2=-2（x2-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x2，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
⇒
⇒-1≤a≤1．f′(-1)≥0 f′(1)≥0
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)=2x+
x3⇒4x+ax2-1 3
x3=2x+2 3
x3，1 3
2x+ax2-x3=0⇒x（x2-ax-2）=0
∴
⇒|x1-x2|=x1+x2=a x1x2=-2
=(x1+x2)2-4x1x2
，a2+8
∴|x1-x2|max=3，…（11分）
⇒只需m2+tm+1≥3对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m2+tm-2，
即g（t）=m2+tm-2≥0，对t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
⇒
⇒m≤-2或m≥2g(-1)≥0 g(1)≥0
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）
