问题
解答题
已知k＞0，函数f(x)=x3-3x+k，g(x)=
（1）若对任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），求k的取值范围； （2）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）＜g（x2），求k的取值范围． |
答案
（1）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当x∈[-1，1]时，f′（x）≤0，所以f（x）在[-1，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=k-2；
g′（x）=
=-2k(x2-x-2) (x2+2)2
，-2k(x-2)(x+1) (x2+2)2
当x∈[-1，1]时，g′（x）≥0，所以g（x）在[-1，1]上单调递增，g（x）max=g（1）=
．k 3
对任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），等价于f（x）min≥g（x）max，
即k-2≥
，解得k≥3．k 3
所以k的取值范围是[3，+∞）．
（2）由（1）知：f（x）在[-1，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=k-2；
g（x）在[-1，1]上单调递增，g（x）max=g（1）=
．k 3
存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）min＜g（x）max，
即k-2＜
，解得0＜k＜3．k 3
所以k的取值范围是（0，3）．
