问题
解答题
已知函数 f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）的单调区间．
（2）设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．
答案
（1）求导函数，可得f′(x)=
-2（x＞0），则f′（1）=-1，f（1）=-21 x
∴切线方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
f′(x)=
-2（x＞0），1 x
令f′(x)=
-2＞0，得0＜x＜1 x
；令f′(x)=1 2
-2＜0，得x＞1 x 1 2
故函数f（x）的单调递增区间为(0，
)，单调减区间是[1 2
，+∞)．1 2
（2）①当
≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，1 a
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②当
≥2，即a≤1 a
时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，1 2
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③当1＜
＜2，即1 a
＜a＜1时，函数f（x）在[1，1 2
]上是增函数，在[1 a
，2]是减函数．1 a
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当
＜a＜ln2时，最小值是f（1）=-a；1 2
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2-2a．
即g(a)=
（14分）-a，…0＜a＜ln2 ln2-2a，…a≥ln2