问题
解答题
| 设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若函数g(x)=
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答案
（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极限值，故f'（x）=0，从而b=0由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直可知
该切线斜率为2，
即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
g(x)=
(k＞0)、g′(x)=ex x2+k
(k＞0)ex(x2-2x+k) (x2+k)2
令g'（x）=0，有x2-2x+k=0（8分）
（1）当△=4-4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）
（2）当△=4-4k=0，即当k=1时，g′(x)=
＞0(x≠1)，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）ex(x-1)2 (x2+k)2
（3）△=4-4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2-2x+k=0有两个不相等实根x1=1-
，x2=1+1-k 1-k
当x∈(-∞，1-
)是g'（x）＞0，故g（x）在(-∞，1-1-k
)上为增函数1-k
当x∈(1-
，1+1-k
)时，g'（x）＜0，故g（x）在(1-1-k
，1+1-k
)上为减函数1-k
当x∈(1+
，+∞)时，g'（x）＞0，故g（x）在(1+1-k
，+∞)上为增函数（14分）1-k