（ I）f（x）的定义域为（0，+∞），

f′(x)=

a

x

-2(x-1)-a=

(1-x)(2x+a)

x

（2分）

①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）

②-2＜a＜0时，f（x）的增区间为（-

a

2

，1），减区间为（0，-

a

2

），（1，+∞）

③a=-2时，f（x）减区间为（0+∞）

④a＜-2时，f（x）的增区间为（1，-

a

2

），减区间为（0，1），（-

a

2

，+∞）

（ II）由题意

f′(x0)=kP1P2= f(x2)-f(x1) x2-x1

=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a

又：f′(

x1+x2

2

)=

2a

x1+x2

-(x1+x2-2)-a．（9分）

f′（x）=

a

x

-2(x-1)-a（a＞0）在，（0，+∞）上为减函数

要证x0＜

x1+x2

2

，只要证f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)

即

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，即证ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

（13分）

令t=

x2

x1

＞1，g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0

∴g（t）在（1，+∞）为增函数，

∴g（t）＞g（1）=0，

∴lnt＞

2(t-1)

t+1

，

lnt

t-1

＞

2

t+1

即ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

∴x₀＜

x1+x2

2

证（15分）