问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-（x-1）2-ax（常数a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：x0＜
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答案
（ I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=
-2(x-1)-a=a x
（2分）(1-x)(2x+a) x
①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）
②-2＜a＜0时，f（x）的增区间为（-
，1），减区间为（0，-a 2
），（1，+∞）a 2
③a=-2时，f（x）减区间为（0+∞）
④a＜-2时，f（x）的增区间为（1，-
），减区间为（0，1），（-a 2
，+∞）a 2
（ II）由题意
=f′(x0)=kP1P2= f(x2)-f(x1) x2-x1
-（x1+x2-2）-aaln x2 x1 x2-x1
又：f′(
)=x1+x2 2
-(x1+x2-2)-a．（9分）2a x1+x2
f′（x）=
-2(x-1)-a（a＞0）在，（0，+∞）上为减函数a x
要证x0＜
，只要证f′(x0)＞f′(x1+x2 2
)x1+x2 2
即
＞aln x2 x1 x2-x1
，即证ln2a x1+x2
＞x2 x1
（13分）2(x2-x1) x1+x2
令t=
＞1，g(t)=lnt-x2 x1
，g′(t)=2(t-1) t+1
-1 t
=4 (t+1)2
＞0(t-1)2 t(t+1)2
∴g（t）在（1，+∞）为增函数，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞
，2(t-1) t+1
＞lnt t-1
即ln2 t+1
＞x2 x1 2(x2-x1) x1+x2
∴x0＜
证（15分）x1+x2 2