问题 解答题

已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.

答案

(1)由已知得x>0且f′(x)=2x-(-1)k

2a
x

当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;

当k是偶数时,则f′(x)=2x-

2a
x
=
2(x+
a
)(x-
a
)
x

所以当x∈(0,

a
)时,f′(x)<0,

当x∈(

a
,+∞)时,f′(x)>0.

故当k是偶数时,f(x)在(0,

a
)上是减函数,

在(

a
,+∞)上是增函数.

(2)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).

记g(x)=f(x)-2ax=x2-2axlnx-2ax,

g′(x)=2x-

2a
x
-2a=
2
x
(x2-ax-a),

若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;

令g'(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,

所以x 1=

a-
a2+4a
2
<0(舍去),

x 2=

a+
a2+4a
2

当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数;

当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数.

当x=x2时,g'(x2)=0,g(x)min=g(x2).

因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.

g(x2)=0
g′(x2)=0
x22-2alnx2-2ax2=0
x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx2+ax2-a=0,因为a>0,所以2lnx2+x2-1=0(*).

设函数h(x)=2lnx+x-1,

因为在x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.

因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,从而解得a=

1
2

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