（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3

∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，

∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，

即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，

则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，

∴a≤0（5分）

（2）依题意x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，∴f′(-

1

3

)=0

即

1

3

+

2

3

a-3=0

∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x（6分）

令f′（x）=3x²-8x-3=0，得x1=-

1

3

，x2=3则

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）

（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，

即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根（12分）

∴x³-4x²-3x-bx=0恰有3个不等实根

∵x=0是其中一个根，

∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，

∴

△=16+4(3+b)＞0 -3-b≠0

∴b＞-7，且b≠-3（14分）