（Ⅰ）f′（x）=-

ax

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

当a=0时，f′（x）=

2x

1+x2

＞0⇔x＞0

∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∝，0）单调递减．

当a＜0且ax²+2x+a=0的判别式△≤0，

即a≤0时，f′（x）≤0对x∈R恒成立．

∴f（x）在R上单调递减．

当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得：ax²+2x+a＞0

解得：

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

由f′（x）＜0可得：x＞

1- 1-a2

a

或x＜

1+ 1-a2

a

∴f（x）在[

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

]上单调递增，

在（-∝，

1+ 1-a2

a

]，[

1- 1-a2

a

，+∞）上单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．

当x＞0时f（x）＜f（0）

∴ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x

∴ln[（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）]

=ln（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n

＜1

∴（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e．