问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax2+lnx（x＞0）． （I）讨论函数f（x）的单调性； （II）当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜
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答案
（I）f′(x)=
（x＞0）2ax2+1 x
（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）当a＜0时，由f′(x)＞0⇒x＜
，由f′(x)＜0⇒x＞- 1 2a - 1 2a
考虑到x＞0，得f（x）在(0，
)上单调递增，在(- 1 2a
，+∞)上单调递减．- 1 2a
（II）a=0时，f(x)=lnx，k=
，不等式x1＜lnx2-lnx1 x2-x1
＜x2⇔x1＜1 k
＜x2 ⇔1-x2-x1 lnx2-lnx1
＜lnx1 x2
＜x2 x1
-1，令x2 x1
=t(t＞1)，即证1-x2 x1
＜lnt＜t-1（8分）1 t
由于t＞1，令g（t）=lnt+
⇒g′(t)=1 t
-1 t
=1 t2
＞0，所以g（t）＞g（1）=1，t-1 t2
即不等式lnt＞1-
成立，令h(t)=lnt-t⇒h′(t)=1 t
-1＜0⇒h(t)＜h(1)=-11 t
即lnt＜t-1，所以，不等式1-
＜lnt＜t-1成立，即得原不等式成立（14分）1 t