问题
解答题
设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．
答案
解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=
-a=1 x
． 1-ax x
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
经检验，a=1符合题意．
（2）f′（x）=
-a=1 x
，x＞0．1-ax x
令f′（x）=0得x=
．因为x∈（0，1 a
）时，f′（x）＞0，x∈（1 a
，+∞）时，f′（x）＜0，1 a
所以f（x）在（0，
）上递增，在（1 a
，+∞）上递减，1 a
①当0＜
≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；1 a
②当1＜
＜2，即1 a
＜a＜1时，f（x）在（1，1 2
）上递增，在（ 1 a
，2）上递减，1 a
所以x=
时，f（x）取最大值f（1 a
）=-lna-1；1 a
③当
≥2，即0＜a≤1 a
时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；1 2
综上，①当0＜a≤
时，f（x）最大值为ln2-2a；②当1 2
＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1．1 2
③当a≥1时，f（x）最大值为-a．
