（1）由已知得，f′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

（2分）

令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即cosx＞-

1

2

，

解得x∈(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（4分）

令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即cosx＜-

1

2

，

解得x∈(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)（6分）

故单增区间为(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)，

单减区间为(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)．（k∈Z）

（2）令F(x)=f(x)-

1

3

x，

则F(x)=

sinx

2+cosx

-

1

3

xF′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

1

3

=

-(cosx-1)2

(2+cosx)2

，（8分）

故对于∀x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上递减，（10分）

对于∀x≥0，都有F（x）≤F（0）=0

因此对于∀x≥0，都有f(x)≤

1

3

x（12分）