∵k∈N^*，

①当k的取值集合是{2，4，6，8，…}时，函数f（x）=x²-2lnx，

∴f'（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，由f'（x）=0得x=-1，或x=1．

当x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，y′＞0；

当x∈（-1，1）时，y′＜0

∴当x=-1和x=1是函数的极值点．

②当k的取值集合是{l，3，5，7，…}时，函数f（x）=x²+2lnx，

∴f'（x）=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

，由f'（x）=0得x∈∅．故此时原函数不存在极值点．

故选A．