问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
x2+lnx

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)求证:在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x3
图象的下方;
(Ⅲ)请你构造函数h(x),使函数F(x)=f(x)+h(x)在定义域(0,+∞)上,存在两个极值点,并证明你的结论.
答案

(Ⅰ)f′(x)=x+

1
x

∵x>0,∴f′(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,

∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=

1
2
e2+1,

最小值为f(1)=

1
2

(Ⅱ)证明:设G(x)=g(x)-f(x),

则G(x)=

2
3
x3-
1
2
x2-lnx,

G′(x)=2x2-x-

1
x
=
2x3-x2-1
x
=
x2(x-1)+x3-1
x

当x∈(1,+∞)时,显然有G′(x)>0,

∴G(x)在区间(1,+∞)上是单调增函数,

∴G(x)>G(1)=

1
6
>0在(1,+∞)上恒成立,

即g(x)>f(x)在(1,+∞)上恒成立,

∴在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=

2
3
x3图象的下方.

(Ⅲ)令h(x)=-

5
2
x,则F(x)=
1
2
x2+lnx
-
5
2
x(x>0),

F′(x)=x+

1
x
-
5
2
=
2x2-5x+2
2x

令F′(x)=0,得x=

1
2
,或x=2,令F′(x)>0得,

0<x<

1
2
,或x>2,令F′(x)<0得,
1
2
<x<2

∴当h(x)=-

5
2
x时,函数F(x)=f(x)+h(x)在定义域(0,+∞)上,

存在两个极值点x1=

1
2
,x2=2.

单项选择题
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