问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ)求证:在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=
(Ⅲ)请你构造函数h(x),使函数F(x)=f(x)+h(x)在定义域(0,+∞)上,存在两个极值点,并证明你的结论. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=x+1 x
∵x>0,∴f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=
e2+1,1 2
最小值为f(1)=
;1 2
(Ⅱ)证明:设G(x)=g(x)-f(x),
则G(x)=
x3-2 3
x2-lnx,1 2
G′(x)=2x2-x-
=1 x
=2x3-x2-1 x
,x2(x-1)+x3-1 x
当x∈(1,+∞)时,显然有G′(x)>0,
∴G(x)在区间(1,+∞)上是单调增函数,
∴G(x)>G(1)=
>0在(1,+∞)上恒成立,1 6
即g(x)>f(x)在(1,+∞)上恒成立,
∴在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=
x3图象的下方.2 3
(Ⅲ)令h(x)=-
x,则F(x)=5 2
x2+lnx-1 2
x(x>0),5 2
F′(x)=x+
-1 x
=5 2 2x2-5x+2 2x
令F′(x)=0,得x=
,或x=2,令F′(x)>0得,1 2
0<x<
,或x>2,令F′(x)<0得,1 2
<x<21 2
∴当h(x)=-
x时,函数F(x)=f(x)+h(x)在定义域(0,+∞)上,5 2
存在两个极值点x1=
,x2=2.1 2