问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2+2alnx． （Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数g(x)=
|
答案
（Ⅰ）f′(x)=2x+
=2a x
…（1分）2x2+2a x
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)=
．2(x+
)(x--a
)-a x
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
| x | (0，
|
| (
| ||||||
| f'（x） | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 极小值 |
| -a |
单调递增区间是(
，+∞)．…（8分）-a
（III）由g(x)=
+x2+2alnx得g′(x)=-2 x
+2x+2 x2
，…（9分）2a x
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-
+2x+2 x2
≤0在[1，2]上恒成立．2a x
即a≤
-x2在[1，2]上恒成立．…（11分）1 x
令h(x)=
-x2，在[1，2]上h′(x)=-1 x
-2x=-(1 x2
+2x)＜0，1 x2
所以h（x）在[1，2]为减函数.h(x) min=h(2)=-
，7 2
所以a≤-
．…（14分）7 2