已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
（1）∵f（x）=ax+x2-xlna，
∴f′（x）=axlna+2x-lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）
（2）由于f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna
①当a＞1，x∈（0，+∞）时，
∴lna＞0，ax-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，x∈（0，+∞）时，
∴lna＜0，ax-1＜0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）
（3）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））max-（f（x））min|
=（f（x））max-（f（x））min≥e-1，（12分）
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（
+1+lna）=a-1 a
-2lna，1 a
记g（t）=t-
-2lnt（t＞0），1 t
因为g′（t）=1+
-1 t2
=（ 2 t
-1）2≥0（当t=1时取等号），1 t
所以g（t）=t-
-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，1 t
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）（14分）
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1⇒
+lna≥e-1⇒0＜a≤1 a
，1 e
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，
]∪[e，+∞）．（16分）1 e