问题 解答题

已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).

(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)单调增区间;

(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.

答案

(1)∵f(x)=ax+x2-xlna,

∴f′(x)=axlna+2x-lna,

∴f′(0)=0,f(0)=1

即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0,

∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(3分)

(2)由于f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna

①当a>1,x∈(0,+∞)时,

∴lna>0,ax-1>0,所以f'(x)>0,

故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

②当0<a<1,x∈(0,+∞)时,

∴lna<0,ax-1<0,所以f'(x)>0,

故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

综上,函数f(x)单调增区间(0,+∞);(8分)

(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,

所以当x∈[-1,1]时,|(f(x))max-(f(x))min|

=(f(x))max-(f(x))min≥e-1,(12分)

由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,

所以当x∈[-1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,

(f(x))max=max{f(-1),f(1)},

而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(

1
a
+1+lna)=a-
1
a
-2lna,

记g(t)=t-

1
t
-2lnt(t>0),

因为g′(t)=1+

1
t2
-
2
t
=(
1
t
-1)2≥0(当t=1时取等号),

所以g(t)=t-

1
t
-2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,

所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,

也就是当a>1时,f(1)>f(-1);

当0<a<1时,f(1)<f(-1)(14分)

①当a>1时,由f(1)-f(0)≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e,

②当0<a<1时,由f(-1)-f(0)≥e-1⇒

1
a
+lna≥e-1⇒0<a≤
1
e

综上知,所求a的取值范围为a∈(0,

1
e
]∪[e,+∞).(16分)

单项选择题
解答题