问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切线的方程; (Ⅱ)若a>0,讨论函数f(x)的单调区间. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)=
x3+a 3
x2-(a-1)x+1,1 2
∴f′(x)=ax2+x-a+1,
f(2)=
a+2-2a+2+1=8 3
a+5,2 3
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,
∴f′(2)=4a+2-a+1=-6,
解得a=-3,∴f(2)=
×(-3)+5=3.2 3
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:
y-3=-6(x-2),即6x+y-15=0.
(Ⅱ)f′(x)=ax2+x-a+1=(x+1)(ax-a+1)=a(x+1)(x-
),a-1 a
若0<a<
,则1 2
<-1,a-1 a
∴函数f(x)的增区间为(-∞,
)和(-1,+∞),减区间为(a-1 a
,-1);a-1 a
若a=
,则f′(x)=1 2
(x+1)2≥0,1 2
∴函数f(x)的增区间为(-∞,+∞);
若a>
,则1 2
>-1,a-1 a
∴函数f(x)的增区间为(-∞,-1)和(
,+∞),减区间为(-1,a-1 a
).a-1 a