问题 解答题
已知函数f(x)=
a
3
x3+
1
2
x2-(a-1)x+1

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切线的方程;
(Ⅱ)若a>0,讨论函数f(x)的单调区间.
答案

(Ⅰ)∵f(x)=

a
3
x3+
1
2
x2-(a-1)x+1,

∴f′(x)=ax2+x-a+1,

f(2)=

8
3
a+2-2a+2+1=
2
3
a+5

∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,

∴f′(2)=4a+2-a+1=-6,

解得a=-3,∴f(2)=

2
3
×(-3)+5=3.

∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:

y-3=-6(x-2),即6x+y-15=0.

(Ⅱ)f′(x)=ax2+x-a+1=(x+1)(ax-a+1)=a(x+1)(x-

a-1
a
),

若0<a<

1
2
,则
a-1
a
<-1,

∴函数f(x)的增区间为(-∞,

a-1
a
)和(-1,+∞),减区间为(
a-1
a
,-1);

若a=

1
2
,则f′(x)=
1
2
(x+1)2≥0,

∴函数f(x)的增区间为(-∞,+∞);

若a>

1
2
,则
a-1
a
>-1,

∴函数f(x)的增区间为(-∞,-1)和(

a-1
a
,+∞),减区间为(-1,
a-1
a
).

单项选择题 A3/A4型题
多项选择题 X型题