问题
解答题
设函数f（x）=p（x-
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围． |
答案
（1）∵f’（x）=
，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，px2-2x+p x2
即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥
=2x x2+1
恒成立，又2 x+ 1 x
≤1，2 x+ 1 x
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，
即px2-2x+0≤0恒成立，即p≤
=2x x2+1
恒成立，又2 x+ 1 x
＞0，2 x+ 1 x
所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（4分）
（2）∵f’（x）=p+
-p x2
，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），2 x
∵l与g（x）图象相切，
∴y=2（p-1）（x-1）
得（p-1）（x-1）=
，即（p-1）x2-（p-1）x-e=0e x
y=2e x
当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）2-4（p-1）（-e）=0，
得p=1-4e，综上，p=1-4e（4分）
（3）因g（x）=
在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]2e x
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-
）-2lne＞2⇒p＞1 e
．4e e2-1
③当0＜p＜1时，因x-
≥0，x∈[1，e]1 x
所以f（x）=p（x-
）-2lnx≤（x-1 x
）-2lnx≤e-1 x
-2lne＜2不合题意1 e
综上，p的取值范围为（
，+∞）（5分）4e e2-1