问题
解答题
已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
（I）当a=1时，f（x）=x-lnx，
则 f/(x)=1-
=1 x
（1分）x-1 x
f/(x)=1-
=1 x
≥0且x∈（0，e]得x∈[1，e）单调递增；（3分）x-1 x
f/(x)=1-
=1 x
＜0且x∈（0，e]得x∈（0，1）单调递减；（5分）x-1 x
当x=1时取到极小值1；（6分）
（II） f/(x)=
（7分）ax-1 x
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（9分）
②当a＞0时，f′（x）=0的根为 1 a
当 0＜
＜e时，f(x)在x∈(0，1 a
)上单调递减，在(1 a
，e)上单调递增f(x)min=f(1 a
)=1-ln1 a
=3，解得a=e2（12分）1 a
③当
≥e时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（14分）1 a
综上所述a=e2（15分）