设函数f（x）=lnx．（I）证明函数g(x)=f(x)-2(x-1)x+1在x

问题解答题

设函数f（x）=lnx．
（I）证明函数g(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是单调增函数；
（II）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，当b∈[-1，1]{

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)时恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（I）∵g′(x)=

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

(x-1)2

x(x+1)2

，

当x＞1时，g'（x）＞0，

∴g（x）在x∈（1，+∞）上是单调增函数．

（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，

∴原不等式即为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立．

∵1-（x-1）²的最大值为1，

∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立．

令Q（b）=m²-2bm-3，则Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．

由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．

由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．

∴综上得，m≥3或m≤-3．