问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．
答案
（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=-3
∵a＞0，∴a=4，
b=-11（经检验符合）
（2）f（x）=x3+4x2-11x+16，f'（x）=3x2+8x-11，
由f′（x）=0得x1=-
，x2=111 3
所以令f′（x）＞0得x＜-
或x＞ 1；令f′(x)＜0得-11 3
＜x＜111 3
所以f（x）在(-∞，-
)，(1，+∞)上单调递增，(-11 3
，1)上单调递减．11 3
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，
又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．