∵n为任意的正整数，

∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，

∴s=（1+

1

1×2

）+（1+

1

2×3

）+（1+

1

3×4

）+…+（1+

1

2008×2009

）

=2008+（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=2008+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）

=2009-

1

2009

．

因此与s最接近的整数是2009．

故选A．