问题 解答题

已知函数f(x)=x2-mx-lnx,m∈R

(1)若m=2,求函数f(x)的单调增区间;

(2)若m≥1,函数在f(x)在x=x0处取得极值,求证:1≤x0≤m.

答案

(1)当m=2时,f(x)=x2-2x-lnx,

定义域为{x|x>0}(2分)

h′(x)=2x-

1
x
-2=
2x2-2x-1
x
≥0,(4分)

解得x≥

1+
3
2
(5分)

所以函数h(x)的单调增区间为[

1+
3
2
,+∞)(6分)

(2)∵x>0,f′(x)=2x-m-

1
x
=
2x2-mx-1
x2
=0,等价于:2x2-mx-1=0,

此方程有且只有一个正根为x0=

m+
m2+8
4

且当x∈(0,x0)时,h'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,

则函数f(x)=x2-mx-lnx在x=x0处取得极值.

当m≥1时,x0=

m+
m2+8
4
关于m在[1,+∞)递增,x0=
m+
m2+8
4
1+
12+8
4
=1

要证x0≤m,即证

m+
m2+8
4
≤m,

也即m+

m2+8
≤4m,
m2+8
3m,

m2+8
>0,3m>0,

只要m2+8≤9m2,8≤8m2,1≤m2

只需m≥1,该式显然成列,所以结论成立.

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