问题
解答题
已知函数f(x)=x2-mx-lnx,m∈R
(1)若m=2,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若m≥1,函数在f(x)在x=x0处取得极值,求证:1≤x0≤m.
答案
(1)当m=2时,f(x)=x2-2x-lnx,
定义域为{x|x>0}(2分)
则h′(x)=2x-
-2=1 x
≥0,(4分)2x2-2x-1 x
解得x≥
(5分)1+ 3 2
所以函数h(x)的单调增区间为[
,+∞)(6分)1+ 3 2
(2)∵x>0,f′(x)=2x-m-
=1 x
=0,等价于:2x2-mx-1=0,2x2-mx-1 x2
此方程有且只有一个正根为x0=
,m+ m2+8 4
且当x∈(0,x0)时,h'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,
则函数f(x)=x2-mx-lnx在x=x0处取得极值.
当m≥1时,x0=
关于m在[1,+∞)递增,x0=m+ m2+8 4
≥m+ m2+8 4
=1.1+ 12+8 4
要证x0≤m,即证
≤m,m+ m2+8 4
也即m+
≤4m,m2+8
≤3m,m2+8
∵
>0,3m>0,m2+8
只要m2+8≤9m2,8≤8m2,1≤m2,
只需m≥1,该式显然成列,所以结论成立.