（I）定义域为（-1，+∞）f′(x)=

2a

1+x

-1

令f'（x）＞0⇒-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0⇒x＞2a-1

故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）

f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）

f（x）的极大值为2aln2a-2a+1

（II）证：要证4lge+

lge

2

+

lge

3

++

lge

n

＞lge

(1+n)n

nn

(n+1)

即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞

lge (1+n)n nn (n+1)

lge

即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞lne

(1+n)n

nn

(n+1)

即证1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n

令a=

1

2

，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减

故f（x）＜f（0）=0

即ln（1+x）＜x

令x=

1

n

(n∈N*)

故ln(1+

1

n

)=ln

n+1

n

=ln(n+1)-lnn＜

1

n

累加得，ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

++

1

n

ln(1+

1

n

)＜

1

n

⇒ln(1+

1

n

)n＜1⇒(1+

1

n

)n＜e＜3

故1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n，得证