问题
解答题
函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（III）求证：20132012＜20122013．
答案
（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax2-x＜-x，
∴xlnx-ax2＜0，
∵x＞0，∴a＞
．lnx x
设h（x）=
，则h′（x）=lnx x
，1-lnx x2
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=
．1 e
∴a＞
．1 e
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）＞h（x+1），
∴
＞lnx x
，化为lnxx+1＞ln（x+1）x，ln(x+1) x+1
∴xx+1＞（x+1）x，
令x=2012，可得2012201′3＞20132012．