（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．

∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．

∴f′（x）=lnx，

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．

∴函数f（x）在x=1时取得极小值．

（II）由题意可得：xlnx-ax²-x＜-x，

∴xlnx-ax²＜0，

∵x＞0，∴a＞

lnx

x

．

设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，

令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；

令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．

∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=

1

e

．

∴a＞

1

e

．

（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，

∴h（x）＞h（x+1），

∴

lnx

x

＞

ln(x+1)

x+1

，化为lnx^x+1＞ln（x+1）^x，

∴x^x+1＞（x+1）^x，

令x=2012，可得2012^201′3＞2013²⁰¹²．