问题
解答题
已知f（x）=
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （2）若f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围A； （3）在（2）的条件下，设关于x的方程f（x）=
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答案
（1）∵f（x）=
（x∈R），2x-a x2+2
∴a=1时，f（x）=
，2x-1 x2+2
∴f′=
，-2(x2-x-2) (x2+2)2
∴f′（2）=0，f（2）=
=4-1 4+2
，1 2
∴过（2，f（2））切线方程为y=
．1 2
（2）∵f（x）=
（x∈R），2x-a x2+2
∴f′(x)=
=4+2ax-2x2 (x2+2)2
，-2(x2-ax-2) (x2+2)2
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设g（x）=x2-ax-2，则问题等价于
，解得-1≤≤1．g(1)=1-a-2≤0 g(-1)=1+a-2≤0
∴A=[-1，1]．
（3）由
=2x-a x2+2
，得x2-ax-2=0，1 x
∵△=a2+8＞0，
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实数根，
∴x1+x2=a，x1x2=-2，
从而|x1-x2|=
≤3，a2+8
∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则问题等价于：
，g(-1)=m2-m-2＞0 g(1)=m2+m-2≥0
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．