问题 解答题
已知函数f(x)=ax3-2bx2+cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取得极值-
2
3

(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点,且x1,x2∈[-1,1].求证:过A点的切线不可能与过B点的切线垂直;
(Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],且|f(x1)-f(x2)|=λ|x1-x2|,求证:λ∈[0,1].
答案

(Ⅰ)f′(x)=3ax2-4bx+c,

∵函数f(x)=ax3-2bx2+cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,

∴f(-x)=-ax3-2bx2-cx=f(x),∴b=0

∵当x=1时,f(x)取得极值-

2
3
.∴f′(1)=3a-4b+c=0,

f(1)=a-2b+c=-

2
3

∴a=

1
3
,b=0,c=-1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=

1
3
x3-x,f′(x)=x2-1

证明:假设过A点的切线与过B点的切线垂直.

则f'(x1)•f'(x2)=-1

∴(x12-1)(x22-1)=-1

∵x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]

∴(x12-1)(x22-1)∈[0,1],

∴假设不成立.

∴过A点的切线不可能与过B点的切线垂直.

(Ⅲ)∵|f(x1)-f(x2)|=λ|x1-x2|,∴λ=

|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
=
|(
1
3
x13-x 
1
)-(
1
3
x23-x2)|
|x1-x2|

=|

1
3
(x12+x1x2+x22)-1|=|
1
3
(x1+x2)2+
1
4
x2
2
-1
|

∵|x1,x2∈[-1,1],∴

1
3
(x1+x22∈[0,
3
4
]

1
4
x1x2∈[0,
1
4
],∴|
1
3
(x1+x2)2+
1
4
x2
2
-1
|∈[0,1]

 即 λ∈[0,1].

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