问题
解答题
已知函数f(x)=ax3-2bx2+cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取得极值-
(Ⅰ)求a,b,c的值; (Ⅱ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点,且x1,x2∈[-1,1].求证:过A点的切线不可能与过B点的切线垂直; (Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],且|f(x1)-f(x2)|=λ|x1-x2|,求证:λ∈[0,1]. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=3ax2-4bx+c,
∵函数f(x)=ax3-2bx2+cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,
∴f(-x)=-ax3-2bx2-cx=f(x),∴b=0
∵当x=1时,f(x)取得极值-
.∴f′(1)=3a-4b+c=0,2 3
f(1)=a-2b+c=-2 3
∴a=
,b=0,c=-11 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=
x3-x,f′(x)=x2-11 3
证明:假设过A点的切线与过B点的切线垂直.
则f'(x1)•f'(x2)=-1
∴(x12-1)(x22-1)=-1
∵x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]
∴(x12-1)(x22-1)∈[0,1],
∴假设不成立.
∴过A点的切线不可能与过B点的切线垂直.
(Ⅲ)∵|f(x1)-f(x2)|=λ|x1-x2|,∴λ=
=|f(x1)-f(x2)| |x1-x2| |(
x13-x 1)-(1 3
x23-x2)|1 3 |x1-x2|
=|
(x12+x1x2+x22)-1|=|1 3
(x1+x2)2+1 3
x22-1|1 4
∵|x1,x2∈[-1,1],∴
(x1+x2)2∈[0,1 3
]3 4
x1x2∈[0,1 4
],∴|1 4
(x1+x2)2+1 3
x22-1|∈[0,1]1 4
即 λ∈[0,1].