（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，∴x∈（0，+∞），f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．

若a≤0，，则f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增；

若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，

当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，

若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．

（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），

g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1

=

ex

x

+(lnx-1)ex+1

=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，

由（1）易知，当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，

即x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0-1≥0．

又ex0＞0，∴g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．

曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（0）=0有实数解．

而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．故不存在．

（3）证明：由（2）知

1

x

+lnx-1≥0，

令x=

n

m

，得

m

n

+ln

n

m

-1≥0，

∴ln

n

m

≥1-

m

n

，

∴nln

n

m

≥n-m，

∴(

n

m

)n≥en-m，

∴nⁿe^m≥mⁿeⁿ．