问题 解答题

已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.

(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数;

(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式.

答案

(1)令y=0,得:x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0,

∴△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15,

当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-15>0,

∴m<-

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此时y的图象与x轴有两个交点;

当△=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0,

∴m=-

15
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此时,y的图象与x轴只有一个交点;

当△<0时,方程没有实数根,即-16m-15<0,

∴m>-

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此时y的图象与x轴没有交点.

∴当m<-

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16
时,y的图象与x轴有两个交点;

当m=-

15
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时,y的图象与x轴只有一个交点;

当m>-

15
16
时,y的图象与x轴没有交点.

(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4,

∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-7,

∵x12+x22=5,

∴2m2-10m-7=5,

∴m2-5m-6=0,

解得:m1=6,m2=-1,

∵m<-

15
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∴m=-1,

∴y=x2+3x+2,

令x=0,得y=2,

∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2),

又y=x2+3x+2=(x+

3
2
2-
1
4

∴顶点M的坐标为(-

3
2
,-
1
4
),

设过C(0,2)与M(-

3
2
,-
1
4
)的直线解析式为y=kx+b,

解得k=

3
2
,b=2,

∴所求的解析式为y=

3
2
x+2.

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