（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0，

∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15，

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0，

∴m＜-

15

16

，

此时y的图象与x轴有两个交点；

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0，

∴m=-

15

16

，

此时，y的图象与x轴只有一个交点；

当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0，

∴m＞-

15

16

，

此时y的图象与x轴没有交点．

∴当m＜-

15

16

时，y的图象与x轴有两个交点；

当m=-

15

16

时，y的图象与x轴只有一个交点；

当m＞-

15

16

时，y的图象与x轴没有交点．

（2）由根与系数的关系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7，

∵x₁²+x₂²=5，

∴2m²-10m-7=5，

∴m²-5m-6=0，

解得：m₁=6，m₂=-1，

∵m＜-

15

16

，

∴m=-1，

∴y=x²+3x+2，

令x=0，得y=2，

∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），

又y=x²+3x+2=（x+

3

2

）²-

1

4

，

∴顶点M的坐标为（-

3

2

，-

1

4

），

设过C（0，2）与M（-

3

2

，-

1

4

）的直线解析式为y=kx+b，

解得k=

3

2

，b=2，

∴所求的解析式为y=

3

2

x+2．