（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=

2e

x

，

∴f′（x）+g′（x）=2（x+

e

x

）≥2×2

e

=4

e

，

当且仅当x=

e

x

，即x=

e

时，等号成立．

∴f′（x）+g′（x）≥4

e

（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），

令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），

∴当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，F（x）在（0，

e

）上单调递减；

当x＞

e

时，F′（x）＞0，F（x）在（

e

，+∞）上单调递增．

∴当x=

e

时，F（x）有极小值，也是最小值，即F（x）min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．

∴F（x）的单调递增区间为（

e

，+∞），单调递减区间为（0，

e

），最小值为0．