已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a＞0)的导函数y=f'（x）的两个零点

问题解答题

已知函数f(x)=

ax2+bx+c

(a＞0)的导函数y=f'（x）的两个零点为-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-e³，求f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

(2ax+b)ex-(ax2+bx+c)ex

(ex)2

-ax2+(2a-b)x+b-c

，

令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c，

因为e^x＞0，所以y=f'（x）的零点就是g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．

又因为a＞0，所以-3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

当x＜-3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

所以f（x）的单调增区间是（-3，0），单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=-3是f（x）的极小值点，所以有

9a-3b+c

e-3

=-e3

b-c=0

-9a-3(2a-b)+b-c=0

，

解得a=1，b=5，c=5，

所以f(x)=

x2+5x+5

．

∵f（x）的单调增区间是（-3，0），单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞），

∴f（0）=5为函数f（x）的极大值，

∴f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值取f（-5）和f（0）中的最大者．

而f(-5)=

e-5

=5e5＞5，所以函数f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值是5e⁵．