（1）由已知得x＞0且f(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．

当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当k是偶数时，则f′(x)=

2(x+ a )(x- a )

x

．

所以当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0．

故当k是偶数时，f （x）在（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数．…（4分）

（2）若k=2014，则f（x）=x²-2alnx．

记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，∴g′(x)=

2

x

(x2-ax-a)，

若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；    

令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．

因为a＞0，x＞0，所以x1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x2=

a+ a2+4a

2

．  

当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；

当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．

当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．    

因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．

则

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

 

设函数h（x）=2lnx+x-1，

因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x ₂=1，从而解得a=

1

2

…（10分）

（3）证明：当k=2013时，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))

由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，

设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，

∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到，

从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．故命题成立．…（16分）