（1）∵f（x）=ax²+bx-3，

∴f′（x）=2ax+b．

∵二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，

∴

f′(1)=2a+b=0 f′(0)=b=-2

，

解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．

（2）∵f（x）=x²-2x-3，

∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，

所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．

令g′（x）=0，得x1=

1

3

，x₂=1．

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 4 27	↓	极小值0	↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）．在x₂=1有极小值为0．

在x1=

1

3

有极大值

4

27

．

（3）∵g（0）=0，g（2）=2，

∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．