问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2在x=-1时取得极值，曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为12；函数g（x）=f（x）+mx，x∈[1，+∞），函数g（x）的导函数g'（x）的最小值为0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m的值；
（Ⅲ） 求证：g（x）≥-7．
答案
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，
∴f'（x）=3ax2+2bx．
由题意有
，f′(-1)=3a-2b=0 f′(1)=3a+2b=12
解得
．a=2 b=3
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x3+3x2．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x3+3x2+mx，x∈[1，+∞），
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
)2-1 2
+m在[1，+∞）单调递增3 2
∴[g'（x）]min=g'（1）=12+m=0，
∴m=-12．
（Ⅲ）g（x）=2x3+3x2-12x，x∈[1，+∞），
由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．