问题 解答题

已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,设t>-2

(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;

(2)求函数f(x)在[-2,t]上的最小值.

答案

(1)因为f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex

由f′(x)>0,可得x>1或x<0;由f′(x)<0,可得0<x<1,

∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,

要使函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0,

(2)当-2<t≤0时,f(x)在[-2,t]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=13e-2

当0<t≤1时,f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,t)上单调递减

∵f(t)≥f(1)>f(-2),∴f(x)min=f(-2)=13e-2

当t>1时,f(x)在(-2,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,

同理f(t)≥f(1)>f(-2),∴f(x)min=f(-2)=13e-2

综上:当f(x)在[-2,t]上的最小值为13e-2

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