问题 解答题
已知函数f(x)=alnx+
1
2
x2-(1+a)x

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,求实数a的取值范围.
答案

(Ⅰ)求导数可得f′(x)=

(x-a)(x-1)
x
(x>0)

(1)a≤0时,令f′(x)<0,可得x<1,∵x>0,∴0<x<1;令f′(x)>0,可得x>1,∵x>0,∴x>1

∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;

(2)0<a<1时,令f′(x)<0,可得a<x<1,∵x>0,∴a<x<1;令f′(x)>0,可得x<a或x>1,∵x>0,∴0<x<a或x>1

∴函数f(x)在(0,a),(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减;

(3)a=1时,f′(x)≥0,函数在(0,+∞)上单调递增;

(4)a>1时,令f′(x)<0,可得1<x<a,∵x>0,∴1<x<a;令f′(x)>0,可得x>a或x<1,∵x>0,∴0<x<1或x>a

∴函数f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减;

(Ⅱ)a≥0时,f(1)=-

1
2
-a<0,舍去;

a<0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴函数在x=1处取得最小值,

∵函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,

∴f(1)=-

1
2
-a≥0,可得a≤-
1
2

单项选择题
多项选择题