问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若函数f（x）在x=1，x=2处取得极值，求b，c的值； （2）若函数f（x）在区间（-∞，x1），（x2，+∞）上为增函数，在（x1，x2）上为减函数，且x2-x1＞1，求证：b2＞2（b+2c）； （3）在（2）的条件下，当t＜x1时，试比较t2+bt+c与x1的大小． |
答案
（1）f'（x）=x2+（b-1）x+c，由题意知1、2是方程x2+（b-1）x+c=0两根，
∴
，-(b-1)=1+2 c=1×2
∴b=-2，c=2；
（2）由题意知，当x∈（-∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，
∴x1，x2是x2+（b-1）x+c=0两根，x1+x2=1-b，x1x2=c，
∴b2-2（b+2c）=b2-2b-4c=[1-（x+x）2]-2[1-（x1+x2）]-4x1x2=（x+x）2-1，
∵x1-x2＞1，∴（x+x）2-1＞0，
∴b2＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上题知x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），即x2+bx+c=（x-x1）（x-x2）+x，
∴t2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t+1-x2）．
∵x2＞1+x1＞1+t，
∴1+t-x2＜0．
∵0＜t＜x1，∴t-x1＜0，
∴（t-x1）（t+1-x2）＜0，
∴t2+bt+c＞x1．