问题
解答题
已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．
答案
（1）由题意得22+2p+q+1=0，即q=-2p-5；
证明：（2）∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）由题意，x2+px-2p-4=0，
解此方程得x1=2，x2=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x2+px-2p-4的顶点坐标是(-
，-p 2
)．(p+4)2 4
以AB为直径的圆经过顶点，
=(p+4)2 4
或p+4 2
=-(p+4)2 4
．p+4 2
解得p=-2或p=-6，
∴
或p=-2 q=-1
．p=-6 q=7
